I sistemi complessi e la crociata degli spin
Disavventure di un mondo in cui non solo Dio gioca a dadi, ma è pure un grande appassionato§
Siamo circondati da sistemi complessi: sotto i nostri piedi i funghi diramano le proprie ife, microscopici cavi dallo spessore di pochi micrometri che producono e conducono segnali elettrici, mettendo in comunicazione anche componenti molti distanti della rete miceliare cui appartengono. Stormi di uccelli solcano i cieli sopra le nostre teste, mentre dentro di esse miliardi di neuroni fanno sinapsi, consentendoci di interrogarci sulla natura stessa di questi fenomeni così ordinari, eppure tanto meravigliosi.
E proprio sul modello neurale si basano gli algoritmi di deep learning che negli ultimi anni stanno facendo molto discutere, sia per i risultati raggiunti in aree scientifiche, ma anche per la pervasività dei mezzi di sorveglianza di cui sono piattaforma irrinunciabile.
Tutti i sistemi citati finora, così come l'iperoggetto Mondo ed il Riscaldamento Globale di cui è oggi protagonista, rientrano nella categoria dei sistemi complessi, per lo studio dei quali Manabe, Hasselmann e Parisi sono stati insigniti del Nobel per la Fisica 2021.
Ma cosa sono, esattamente, i sistemi complessi?
cosa sono i sistemi complessi?§
Riprendendo la voce scritta dallo stesso Giorgio Parisi per Treccani nel 1998, si tratta di sistemi le cui leggi fenomenologiche «non sono facilmente deducibili dall'analisi delle leggi microscopiche che controllano ciascuno dei singoli costituenti».
Ritornando sull'esempio del sistema nervoso umano, «il comportamento dei singoli neuroni è probabilmente ben compreso, ma non ci è affatto chiaro perché dieci miliardi di neuroni, collegati da centomila miliardi di sinapsi formino un cervello che è in grado di pensare come quello dei primati».
i vincitori del Nobel§
Syukuro Manabe e Klaus Hasselmann (rispettivamente dell'Università di Princeton, USA, e del Max Planck Institute for Meteorology, Germania) condividono metà del premio "per lo sviluppo di modelli fisici del clima terrestre, per aver quantificato e predetto in maniera attendibile il riscaldamento globale"; a Giorgio Parisi, professore alla Sapienza di Roma, va l'altra metà del premio "per la scoperta dell'interazione tra disordine e fluttuazioni nei sistemi fisici dalla scala atomica a quella planetaria".
Se anche ad occhi profani emerge subito con evidenza l'importanza del lavoro sul clima, meno concreto e forse dotato di meno appeal può apparire lo studio di Parisi, pure un po' per via delle motivazioni al contempo altisonanti e vaghe portate dall'Accademia Svedese. Il lavoro per il quale Parisi ha vinto il Nobel verte principalmente sui vetri di spin, una curiosa lega metallica intrinsecamente disordinata, il cui magnetismo è particolarmente difficile da simulare e prevedere, ma soprattutto da comprendere.
Poiché come diceva Nietzsche «quanto più astratta è la verità che tu vuoi insegnare, tanto più devi sedurre anche i sensi ad essa», è obiettivo dichiarato di questo post sviscerare e reincarnare i concetti chiave del lavoro di Parisi nella speranza che trapeli almeno parzialmente il valore del suo contributo.
vetri di spin§
In un solido tradizionale, gli atomi si dispongono a costituire un reticolo cristallino, cioè un periodico e regolare arrangiamento spaziale: è il caso classico del sale da cucina, o cloruro di sodio; non è così raro sentir parlare di cristalli di sale, infatti, ma non è che una definizione ridondante che esplicita una caratteristica del materiale (e sono assolutamente certo che il birrificio Messina riformulerà la denominazione di uno dei suoi prodotti di punta, a seguito di questa lettura).
I vetri di spin sono solidi, ma sono dei solidi anticonformisti e caotici, tutto l'opposto dei cristalli di sale che abbiamo appena considerato: per questo sono detti "vetri", perché come i vetri tradizionali di bicchieri e finestre, presentano un arrangiamento interatomico casuale e disordinato, come quello dei liquidi in un dato istante; parliamo di vetri, cioè, nel caso di solidi amorfi, in contrapposizione ai solidi cristallini.
Se il vetro comune è dato dalla dispersione casuale di molecole di silice ($SiO_2$), un vetro di spin è in verità dato da un reticolo di atomi non magnetici in cui sono dispersi casualmente atomi dotati di un certo magnetismo. I primi vetri di spin erano dati da ferro diluito in una matrice nobile (es. oro o argento), ma può essere impiegato anche del rame. Così come il vetro di una finestra non ha una struttura cristallina ordinata, così possiamo dire che il vetro di spin non ha una "struttura magnetica ordinata", cioè i magnetini al suo interno non sono disposti secondo una rigida geometria. Eppure, nonostante il disordine, i vetri di spin sono stramaledettamente resilienti.
la crociata§
Per comprendere quel che accade nella microscopia d'un materiale, sarebbe utile immergersi tra i suoi legami e visualizzare il paesaggio come si fa con le ondose distese verdi di una collina: uno sguardo sui rivoli d'acqua, un altro tra le fronde di un giovane ulivo e giù alla base del tronco, dove si agitano le sfuggenti lucertole.
I campi non sono solo sede di quieti scorci bucolici, ma anche teatro di guerra: proprio in chiave militare, infatti, può essere letta la tensione tra gli atomi di ferro nel verde campo di un reticolo rameoso. Possiamo già percepire il considerevole peso del tomo che narra l'arme e gli amori di Giordano e Tancredi, dei loro nemici e compagni pronti a dare lo spin per il bene della causa comune: versare il sangue nemico? No, macché, in natura il "bene comune" è raggiungere il minimo di potenziale.
Va detto, in verità, che a questa crociata nessuno voleva partecipare sin da principio: non gli eretici, che cercano solo di difendere il territorio mantenendo basso il numero delle vittime, né tantomeno i crociati cattolici, che, dopo anni di procrastinazione, si trovano lì giusto per far stare zitto il Papa.
Si sentono già in lontananza i click di metalliche penne business pronte alle firme sui contratti per la trasposizione cinematografica di questo classico istantaneo della letteratura e tanta è la tentazione di citare verso per verso il contenuto del testo, ma ci limiteremo ad una descrizione aerea degli eventi.
la grande tempesta delle origini§
Si narra che in origine i soldati fossero schierati su due fronti opposti, ma che una serie imprevedibile di trombe d'aria li abbia scaraventati un po' dovunque, come un mucchio di biglie in una scatola. In questo frattempo, l'energia del sistema era alta, cioè era elevata la temperatura del corrispondente materiale e gli atomi di ferro si trovavano tutti in miscela tra loro. Ne conseguiva un comportamento complessivo comparabile a quello di qualunque altro materiale magnetico.
Quindi l'energia somministrata al sistema diminuì, cioè si concluse la tempesta e la situazione mutò radicalmente. Eretici e crociati, frastornati dal tempestoso evento, si ritrovano tutti in posizioni diverse: alcuni molto distanti dal nemico, altri molto vicini, altri a distanza intermedia dai primi, ma assai distanti dai secondi eccetera. È chiaro che tutte le distanze relative possono essere quantificate. I soldati, tutti rigorosamente intenti ad evitare il combattimento si trovarono e si trovano tuttora a costituire, loro malgrado, moltissime configurazioni differenti.
improvvise conversioni spin-ituali§
Se già a monte la voglia di passarsi le carni a fil di spada non era molta, figuriamoci adesso che è venuta meno la strategia, la formazione, il controllo del leader! Inoltre non è ancora caduta la cortina polverosa che avviluppa i soldati, per cui chiaramente correre per i campi non sarebbe una mossa saggia: allontanadosi troppo si rischierebbe di finire dritti in una trappola del nemico, mentre rimanendo sul posto è almeno possibile risalire alle identità dei vicini.
Quale la strategia migliore per evitare lo scontro? Quale la maniera per minimizzare l'energia potenziale in un solido? Gli atomi non possono certo correre liberamente per lo spazio in ogni direzione, ma possono riorientarsi, invertire il proprio spin, cambiare casacca e camuffarsi all'occorrenza ruotando sul posto come in una trasformazione alla Sailor Moon (musiche incluse).
I più ingenui penserebbero subito ad allinearsi parallelamente ai vicini, circondandosi così di amici, ma si tratta di un approccio assolutamente controproducente: verrebbero subito a formarsi piccoli plotoni pronti a combattere e si vedrebbero costretti a muovere le spade basandosi solo su un principio di prossimità! Una prospettiva persino più assurda di scannarsi al fine di stabilire le tempistiche di battesimo dei marmocchi (e ce ne vuole).
Il trucchetto per evitare d'ammazzarsi indiscriminatamente tra compari ed ex-nemici era semplicissimo: capito lo schieramento d'appartenenza del nemico, bisognava assicurarsi di assumere lo spin dello schieramento opposto, mantenendosi sempre in configurazione antiparallela. Essere eretici con vicini cattolici e cattolici con vicini eretici, quindi procedere a guardarsi in cagnesco per ore e procrastinare lo scontro in attesa di una campanella che Dio solo sa se sarebbe mai arrivata. Potevano essere i rinforzi, un miracolo divino, mamma che chiama per cena: nel frattempo collocarsi nel minimo di potenziale più vicino e aspettare, aspettare, aspettare. Parliamo in questo caso di antiferromagneti, viceversa se il minimo venisse raggiunto con una configurazione parallela degli spin parleremmo di ferromagneti, ma non è il nostro caso attuale.
frustrazione geometrica§
La polvere dispersa nell'aria comincia a diradarsi, la visibilità aumenta, ed una nuova rivelazione sconquassa gli animi di tutti i nostri eroi della procrastinazione: ci si rende progressivamente conto di essere come disposti ai vertici di tanti reticoli triangolari, cioè circa equidistanti da due persone differenti a loro volta vicine tra loro.
L'illusione crolla in frantumi ed i soldati realizzano che non c'è modo d'essere tutti al contempo nemici del proprio vicino: sarebbe necessario entrare a far parte di una terza fazione, ma gli orientamenti possibili sono solo due! Spin up o spin down, crociati o eretici ed uno dei due legami sarà per forza di cose frustrato, come ebbe a definirlo per la prima volta G. Toulouse.
Una qualsiasi tripletta di spin si dice frustrata se le interazioni a coppie sono tali che alcune di queste tendono a mettere due spin paralleli, mentre le altre li vorrebbero antiparalleli e nessuna scelta per i tre spin $S_A$, $S_B$, $S_C$ può soddisfarle tutte. Paradossalmente ne segue che più di una configurazione soddisfa il maggior numero possibile di interazioni, e quindi ne risulta una maggiore ricchezza e diversità fra gli stati di equilibrio.
(Miguel Angel Virasoro, in Enciclopedia Treccani - 1995)
In tali condizioni di frustrazione geometrica è possibile un solo sviluppo naturale: se non esiste un minimo di potenziale chiarissimo, ce ne saranno molteplici altrettanto validi, sebbene certamente più instabili del primo che avevamo teorizzato inizialmente insieme agli ingenui crociati: resta la volontà di mantenere una strategia a minimo rischio, ma non è possibile optare per una condizione relativamente rilassata in cui la mossa d'ognuno fa da deterrente simmetrico per l'altro? Molto bene, allora ci si disporrà in triplette, come deciso dal destino, ma sempre in due contro uno. Poiché nessuno ha davvero voglia di rischiare la vita, anche solo la possibilità di essere sopraffatti dal singolo è sufficiente a fermare due uomini a distanza di sicurezza. Certo i livelli di ansia saranno più elevati, guardarsi di traverso non sarà sufficiente e di tanto in tanto ci si vedrà costretti ad esibire le spade, ma sempre meglio che farsi ficcare dei pezzi di ferro taglienti nel costato.
non proprio stabile§
È ora, ahimè, d'abbandonare i nostri nanometrici eroi e tornare ai confortevoli grafichetti. Cosa vuol dire, su vasta scala, disporre di un numero enorme di triplette d'atomi magnetici frustrate? Che all'aumentare delle triplette aumenteranno esponenzialmente gli stati di pseudoequilibrio; aggiungete un bel po' di disordine geometrico (non tutti i triangoli sono equilateri) ed otterrete un vetro di spin, l'archetipo dei sistemi complessi.
La maggior parte dei materiali non vetrosi reagisce alle perturbazioni cercando di tornare molto in fretta alla precedente condizione di equilibrio: un vetro di spin, che è un materiale metastabile, si comporta in maniera molto diversa, infatti le dinamiche sono lentissime ed i tempi di rilassamento enormi. Questo accade perché, come dicevamo, gli stati di equilibrio sono così tanti che il materiale non riesce a sceglierne uno specifico e continua a tergiversare: la sua scelta è non scegliere, come una sorta di Kierkegaard da cartone animato.
Ma quindi, come si risolve l'enigma di questa complessità?
approccio replica§
Siamo infine arrivati al punto. Uno dei molti trucchi matematici adottati da Parisi (ed altri prima di lui) è quello dell'approccio replica, un metodo che prevede la scomposizione della configurazione di spin globale in tante piccole sotto-configurazioni locali, un enorme numero di "repliche" del sistema con simili accoppiamenti e spin risultanti variabili.
L'approccio si basa proprio sulla misura della somiglianza delle singole configurazioni replica, cui segue un conteggio: quante configurazioni sono del tipo 1? Quante del tipo 2? Quante del tipo 3? Nel classificare le repliche si introduce un certo livello di arbitrarietà, ma in questo modo è possibile gerarchizzare il problema e visualizzarlo come se fosse un albero da cui è possibile astrarre dei pattern. Alcuni si ripeteranno più spesso, altri meno; alcuni avranno energia maggiore, altri inferiore.
Parisi, seguendo fin qui le orme di altri prima di lui, ha identificato gruppi di stati molto simili tra loro nel vasto numero di repliche possibili per il sistema dato, imponendo una struttura gerarchica a quello che pareva un range infinito di possibilità. Il suo contributo parte precisamente da qui, poiché Parisi ha dimostrato che questa struttura possiede una proprietà chiamata ultrametricità, la quale consente alle configurazioni di essere riordinate in modo da assomigliare ad un diagramma ad albero, come quello nell'immagine.
Ad una data temperatura, possiamo immaginare che lo stato complessivo sedimenti in una delle tante (tantissime) configurazioni a più bassa energia e che lievi oscillazioni dell'energia del sistema possano far spostare lo stato ad un livello superiore, per poi riscendere in uno dei livelli a più bassa energia e via così, sempre nello stesso braccio dell'albero. Perché il materiale sia in grado di muoversi verso stati più lontani, anche se ad energia finale comparabile, è necessario prima che il sistema transiti per uno dei livelli ad energia più elevata, quindi due, tre nodi più su. Ciò significa che tra stati ad energia comparabile vi è un enorme divario che non può essere superato senza prima un considerevole aumento dell'energia del sistema (es. aumentando la temperatura).
In verità, a Parisi non solo va attribuita l'interpretazione geometrica dei risultati ottenuti dall'approccio replica, ma anche un ulteriore passaggio matematico chiamato "rottura della simmetria di replica", per la cui discussione rimando al libro sui vetri di spin scritto a sei mani da Parisi, Mezard e Virasoro.
conclusioni§
L'elegante soluzione matematica sviluppata da Parisi per i vetri di spin può essere riportata, con le dovute modifiche, anche su problemi di tutt'altro genere, ad esempio biologici. Come lui stesso spiega nelle righe che riporto a seguire, l'applicazione di questi principi non è immediata e tra le due scienze esiste una profonda differenza d'approccio, ma ciò non significa che non si possano incontrare.
La tendenza del fisico a semplificare si scontra con la tradizione biologica di studiare il vivente così come è, come viene osservato in laboratorio, non come pensiamo che potrebbe essere o dovrebbe essere. La fisica è una scienza assiomatica, (con assiomi selezionati dagli esperimenti), in cui tutte le leggi sono deducibili, sia pur faticosamente, da pochi principi primi, mentre la biologia è una scienza storica, in cui si studiano i prodotti della storia su questo pianeta. Queste due concezioni diverse della scienza rendono la collaborazione della fisica e della biologia problematica, ma non impossibile. Sono convinto che l'introduzione di tecniche probabilistiche nello studio della materia vivente sarà cruciale nel prossimo futuro. La vera incognita è se questo fenomeno sarà localizzato solamente in qualche campo più o meno importante o se invece le tecniche fisiche matematiche basate sullo studio dei sistemi disordinati diventeranno il quadro concettuale di riferimento per la comprensione della dinamica degli esseri viventi specialmente a livello sistemico.
ringraziamenti§
La stesura di questo pezzo non sarebbe mai stata possibile senza questo meraviglioso thread di Steven Thomson, le voci correlate sull'Enciclopedia Treccani online (linkate sopra, laddove citate), il libro dello stesso Parisi sui vetri di spin e un articolo di Chard Orzel. Questi testi sono stati il ponte di mezzo che mi ha consentito di giungere ad una almeno parziale comprensione del problema. Ringrazio anche chiunque sia giunto fino a questo punto: spero la lettura vi abbia divertito ed incuriosito almeno la metà di quanto non abbia incuriosito e divertito me.
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